সুডোকুর ঠিক তিনটি নিয়ম: প্রতিটি সারিতে ১ থেকে ৯ পর্যন্ত সংখ্যা কোনো পুনরাবৃত্তি ছাড়া থাকতে হবে, প্রতিটি কলামেও ১ থেকে ৯ পর্যন্ত সংখ্যা কোনো পুনরাবৃত্তি ছাড়া থাকতে হবে, আর প্রতিটি ৩×৩ বক্সেও ১ থেকে ৯ পর্যন্ত সংখ্যা কোনো পুনরাবৃত্তি ছাড়া থাকতে হবে। ব্যস, এতটুকুই। কোনো গণিতের দরকার নেই: সুডোকু পুরোপুরি যুক্তির ধাঁধা। যোগ, বিয়োগ বা কোনো হিসাব করতে হয় না। শুধু এমনভাবে সংখ্যা বসাতে হয়, যাতে প্রতিটি সারি, কলাম ও বক্সে ১ থেকে ৯ পর্যন্ত প্রতিটি সংখ্যা ঠিক একবার করে থাকে। এই তিনটি শর্তের পারস্পরিক সম্পর্ক থেকেই নানা ধরনের যুক্তি বেরিয়ে আসে, কখনো সহজ, কখনো বেশ কঠিন, অথচ নিয়মগুলো একই রকম সরল।
নিয়ম ১: প্রতিটি সারিতে ১–৯ থাকতে হবে
একটি সাধারণ সুডোকু গ্রিডে ৯টি সারি থাকে, প্রতিটিতে ৯টি ঘর। প্রথম নিয়ম অনুযায়ী, ধাঁধা সমাধান হলে প্রতিটি সারিতে ১ থেকে ৯ পর্যন্ত প্রতিটি সংখ্যা ঠিক একবার থাকতে হবে। একই সারিতে কোনো সংখ্যা দুবার থাকতে পারবে না, আবার কোনো সংখ্যাও বাদ পড়তে পারবে না।
এর মানে, কোনো সারিতে যদি ১, ৩, ৫, ৭ ও ৯ আগে থেকেই বসানো থাকে, তাহলে বুঝবেন ওই সারির বাকি চারটি ঘরে ২, ৪, ৬ ও ৮ বসবে, যেকোনো ক্রমে। শুধু সারির নিয়ম থেকে কোন ঘরে কোন সংখ্যা বসবে তা জানা যায় না, তবে কলাম ও বক্সের নিয়ম মিলিয়ে দেখলে সম্ভাবনাগুলো অনেকটাই কমে আসে।
কাজের পরামর্শ: কোনো সারি দেখার সময় কোন সংখ্যাগুলো নেই, তা মনে রাখুন অথবা পেন্সিল মার্ক ব্যবহার করুন। কোনো সারিতে সাতটি সংখ্যা বসানো থাকলে বাকি দুটি ঘরের সম্ভাবনা অনেকটাই সীমিত থাকে, আর কলাম ও বক্সের নিয়মে প্রায়ই সঙ্গে সঙ্গেই উত্তর বেরিয়ে আসে।
নিয়ম ২: প্রতিটি কলামে ১–৯ থাকতে হবে
উল্লম্ব দিকেও একই যুক্তি প্রযোজ্য। ৯টি কলামের প্রতিটিতে ১ থেকে ৯ পর্যন্ত প্রতিটি সংখ্যা ঠিক একবার করে থাকতে হবে। সারি ও কলাম মিলে একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা তৈরি করে: প্রতিটি ঘর ঠিক একটি সারি ও একটি কলামের ছেদে থাকে, তাই একই সঙ্গে দুই নিয়মই মানতে হয়।
একই ঘরে দুই শর্ত একসঙ্গে প্রযোজ্য হয় বলেই সুডোকুতে এত গভীরতা আসে। সারির নিয়ম অনুযায়ী কোনো সংখ্যা একটি ঘরে বসতে পারলেও কলামের নিয়মে তা নিষিদ্ধ হতে পারে, কারণ কলামের অন্য ঘরে সেই সংখ্যা আগে থেকেই আছে। সমাধানকারীর কাজ হলো কোন ঘরে কোন সংখ্যা বসালে সব শর্ত একসঙ্গে মেটে, তা খুঁজে বের করা।
কাজের পরামর্শ: সারি দেখার মতো কলাম দেখাও সমান জরুরি। অনেক নতুন খেলোয়াড় বাম থেকে ডানে পড়তে অভ্যস্ত বলে সারিতেই বেশি মনোযোগ দেন, কিন্তু অভিজ্ঞ সমাধানকারীরা কলামও সমান গুরুত্ব দিয়ে দেখেন। অনুভূমিক ও উল্লম্বভাবে পালা করে দেখলে এমন সংখ্যা বসানোর জায়গা পাওয়া যায়, যা শুধু এক দিক দেখে খুঁজে পাওয়া যায় না।
নিয়ম ৩: প্রতিটি ৩×৩ বক্সে ১–৯ থাকতে হবে
এই নিয়মটিই সুডোকুকে সাধারণ ল্যাটিন বর্গ থেকে আলাদা করে। ৯×৯ গ্রিডটি নয়টি ৩×৩ অঞ্চলে ভাগ করা হয়, যেগুলোর কোনো ঘর একাধিক অঞ্চলের অংশ নয়। সাধারণত মোটা রেখা দিয়ে সেগুলো চিহ্নিত থাকে। প্রতিটি বক্সেও ১ থেকে ৯ পর্যন্ত প্রতিটি সংখ্যা ঠিক একবার করে থাকতে হবে।
বক্সের শর্ত যুক্তির তৃতীয় মাত্রা যোগ করে। কোনো ঘরে যে সংখ্যা বসবে, সেটি তার সারি ও কলামের পাশাপাশি বক্সেও আগে থেকে থাকা চলবে না। এই তিনটি শর্ত একসঙ্গে কাজ করে বলেই একটিমাত্র সমাধান পাওয়ার জন্য অন্যথায় যতগুলো দেওয়া সংখ্যা লাগত, তার চেয়ে অনেক কম দিয়েই সুডোকু ধাঁধা তৈরি করা যায়।
বক্স ও সারি বা কলামের পারস্পরিক সম্পর্ক থেকেই অনেক কার্যকর সমাধান কৌশল আসে। যেমন, পয়েন্টিং পেয়ার কৌশলে এমন পরিস্থিতির সুবিধা নেওয়া হয়, যেখানে কোনো সংখ্যা একটি বক্সের শুধু একটি সারি বা কলামেই বসতে পারে। তখন সেই সারি বা কলামের বাকি অংশ থেকে সংখ্যাটি বাদ দেওয়া যায়।
“দেওয়া সংখ্যা” কী?
সুডোকু ধাঁধা শুরু করলে কিছু ঘরে আগে থেকেই সংখ্যা থাকে। আগে থেকে বসানো এই সংখ্যাগুলোকে দেওয়া সংখ্যা বলা হয়, ইংরেজিতে এগুলোর নাম “givens” বা “clues”। এগুলো স্থির, বদলানো যায় না। আপনার কাজ হলো তিনটি নিয়ম মেনে বাকি খালি ঘরগুলো পূরণ করা।
কতটি দেওয়া সংখ্যা আছে এবং সেগুলো কোথায় আছে, তার ওপর ধাঁধার কঠিনতা নির্ভর করে। সহজ ধাঁধায় সাধারণত ৩৫–৪৫টি, মাঝারি ধাঁধায় ২৭–৩৪টি, আর কঠিন ধাঁধায় মাত্র ২২–২৬টি দেওয়া সংখ্যা থাকতে পারে। একটিমাত্র সমাধানসহ ধাঁধা তৈরি করতে অন্তত ১৭টি দেওয়া সংখ্যা প্রয়োজন, যা ২০১২ সালে University College Dublin-এর Gary McGuire ও তাঁর দল গাণিতিকভাবে প্রমাণ করেন। ১৭টি দেওয়া সংখ্যা থাকা ধাঁধা অত্যন্ত বিরল এবং সাধারণত খুব কঠিন। এ বিষয়ে আরও জানতে পড়ুন সুডোকুর পেছনের গণিত (ইংরেজিতে) নিয়ে আমাদের লেখা।
তবে শুধু কতটি দেওয়া সংখ্যা আছে, তা দিয়ে কঠিনতা নির্ধারিত হয় না। ২৮টি দেওয়া সংখ্যা থাকা কোনো ধাঁধায় X-Wing বা সোর্ডফিশ-এর মতো উন্নত কৌশল লাগতে পারে, ফলে সেটি ২৪টি দেওয়া সংখ্যা থাকা এমন ধাঁধার চেয়ে অনেক কঠিন হতে পারে, যা সাধারণভাবে ঘর দেখে সমাধান করা যায়। কঠিনতা নির্ভর করে কোন সমাধান কৌশল দরকার হচ্ছে তার ওপর, শুধু আগে থেকে কতগুলো ঘর ভরা আছে তার ওপর নয়।
প্রতিটি বৈধ সুডোকুর ঠিক একটি সমাধান থাকে
সঠিকভাবে তৈরি সুডোকু ধাঁধার একটিই সমাধান থাকে। সমাধানকারী হিসেবে এটি আপনাকে নিশ্চিত করতে হয় না। ধাঁধা যিনি তৈরি করেছেন, তাঁর কাছ থেকেই এই বৈশিষ্ট্যের নিশ্চয়তা থাকে। তবে সমাধান করার সময় এর প্রভাব বোঝা জরুরি।
ধাঁধার একটিমাত্র সমাধান থাকলে প্রতিটি খালি ঘরের জন্য ঠিক একটি সঠিক সংখ্যা থাকে। এর মানে, সমাধানের যেকোনো পর্যায়ে অন্তত একটি ঘর থাকতে হবে, যেখানে শুধু যুক্তি দিয়েই সঠিক সংখ্যা নির্ধারণ করা যায়, আন্দাজের দরকার হয় না। অন্যভাবে বললে, ভালোভাবে তৈরি সুডোকুতে কখনো আন্দাজ করতে হওয়ার কথা নয়। আটকে গিয়ে আন্দাজ করতে হবে মনে হলে, সাধারণত সংখ্যা বের করার কোনো যুক্তি এখনও আপনার চোখ এড়িয়ে যাচ্ছে।
কিছু জায়গায় একাধিক সমাধান থাকা সুডোকুও প্রকাশ করা হয়, তবে সেগুলোকে সাধারণত ত্রুটিপূর্ণ বলে মনে করা হয়। নামী ধাঁধা নির্মাতা ও নির্ভরযোগ্য সুডোকু অ্যাপ সব সময় একটিমাত্র সমাধানের নিশ্চয়তা দেয়।
সুডোকুর নিয়ম নিয়ে প্রচলিত ভুল ধারণা
সুডোকুর নিয়ম সহজ হলেও, কয়েকটি ভুল ধারণা নতুন খেলোয়াড়দের বিভ্রান্ত করে:
ভুল ধারণা: সুডোকু খেলতে গণিত জানতে হয়
এটাই সবচেয়ে প্রচলিত ভুল ধারণা। সুডোকুতে সংখ্যা ব্যবহার করা হয়, কিন্তু এতে একটুও হিসাব করতে হয় না। যোগ, বিয়োগ, গুণ বা ভাগ কিছুই করতে হয় না। ১–৯ সংখ্যাগুলো এখানে শুধুই প্রতীক। চাইলে এগুলোর বদলে নয়টি রং, নয়টি অক্ষর বা নয়টি ইমোজি ব্যবহার করলেও ধাঁধাটি একইভাবে কাজ করবে। সুডোকু যুক্তির ধাঁধা, গণিতের ধাঁধা নয়। (একটি ব্যতিক্রম হলো কিলার সুডোকু (ইংরেজিতে), এই ধরনে যোগ করতে হয়, তবে সেটি আলাদা ধরনের ধাঁধা।)
ভুল ধারণা: আটকে গেলে আন্দাজ করা উচিত
আন্দাজ করা, অর্থাৎ যে সংখ্যা নিয়ে নিশ্চিত নন সেটি বসিয়ে কোনো অসংগতি তৈরি হয় কি না দেখা, কম্পিউটারে সমাধানের একটি বৈধ কৌশল; একে ব্যাকট্র্যাকিং বলে। কিন্তু সঠিকভাবে তৈরি সুডোকুতে আন্দাজ করা কখনোই জরুরি নয়। প্রতিটি ঘরের সংখ্যা শুধু যুক্তি দিয়েই বের করা যায়। বারবার আন্দাজ করতে হলে নেকেড পেয়ার বা হিডেন সিঙ্গেল-এর মতো আরও সমাধান কৌশল শেখার কথা ভাবুন।
ভুল ধারণা: কর্ণেও ১–৯ থাকতে হবে
সাধারণ সুডোকুতে প্রধান কর্ণগুলোর জন্য আলাদা কোনো শর্ত নেই। সমাধান করা ধাঁধায় কোনো কর্ণে কাকতালীয়ভাবে সব সংখ্যা আলাদা হতে পারে, তবে তা বাধ্যতামূলক নয়। ডায়াগোনাল সুডোকু (বা X-Sudoku) (ইংরেজিতে) নামে একটি ধরন আছে, যেখানে এই শর্ত যোগ করা হয়। তবে সেটি আলাদা নিয়মের আলাদা ধাঁধা।
ভুল ধারণা: প্রতিটি সংখ্যা ঠিক ৯ বার আসে
সমাধান করা ৯×৯ সুডোকু গ্রিডে প্রতিটি সংখ্যা ঠিক ৯ বার থাকে, কারণ প্রতি সারিতে একবার করে × ৯টি সারি = ৯ বার। তবে এটি নিয়মের ফল, নিজে কোনো নিয়ম নয়। পুরো গ্রিডে একটি সংখ্যা মোট কতবার আছে, তা গুনতে হয় না। সারি, কলাম ও বক্সে মনোযোগ দিন, প্রতিটি সংখ্যা মোট যতবার থাকার কথা, ততবারই থাকবে।
ভুল ধারণা: কঠিন ধাঁধায় নিয়ম আলাদা
সহজ, মাঝারি, কঠিন ও বিশেষজ্ঞ পর্যায়ের সব সুডোকুতেই একই তিনটি নিয়ম মানা হয়। কঠিনতা পুরোপুরি নির্ভর করে কতটি দেওয়া সংখ্যা আছে এবং সেগুলো কোথায় আছে তার ওপর, যা ঠিক করে দেয় কোন সমাধান কৌশল লাগবে। নতুনদের ধাঁধা সাধারণভাবে ঘর দেখে সমাধান করা যায়, আর বিশেষজ্ঞ পর্যায়ের ধাঁধায় X-Wing, সোর্ডফিশ বা XY-Chains-এর মতো কৌশল লাগতে পারে।
নিয়ম প্রয়োগ: নতুনদের জন্য ধাপে ধাপে
বাস্তবে তিনটি নিয়ম একসঙ্গে যেভাবে কাজ করে:
- একটি ঘর বেছে নিন: যেকোনো খালি ঘর নিন। সেটি কোন সারি, কলাম ও বক্সে আছে, খেয়াল করুন।
- সারি দেখুন: ওই সারিতে ১–৯-এর কোন সংখ্যাগুলো আগে থেকেই আছে? সেগুলো বাদ দিন, কারণ সেগুলো আপনার ঘরে বসতে পারে না।
- কলাম দেখুন: ওই কলামে কোন সংখ্যাগুলো আগে থেকেই আছে? সেগুলোও বাদ দিন।
- বক্স দেখুন: ৩×৩ বক্সে কোন সংখ্যাগুলো আগে থেকেই আছে? সেগুলো বাদ দিন।
- কী বাকি থাকল? তিন দিক দেখে যদি একটিমাত্র সংখ্যা বাকি থাকে, সেটি ঘরে বসান। একাধিক সংখ্যা বাকি থাকলে অন্য ঘরে যান, পরে আবার এখানে ফিরে আসুন।
এই পদ্ধতিকে ক্রস-হ্যাচিং বা স্ক্যানিং বলে। সুডোকু সমাধানের এটি সবচেয়ে মৌলিক কৌশল, যা প্রতিটি ঘরে সরাসরি তিনটি নিয়মই প্রয়োগ করে। আরও ঘর পূরণ করার সঙ্গে সঙ্গে কোন ঘরে কী বসতে পারে, তা আরও সীমিত হয়, আর আরও ঘর সমাধান করা যায়। সাধারণ স্ক্যানিংয়ের বাইরের কৌশল জানতে পড়ুন আমাদের নতুনদের জন্য পরামর্শের গাইড।
প্রতিযোগিতা ও মাল্টিপ্লেয়ার সুডোকুর নিয়ম
আপনি শখের ছলে সমাধান করুন, বিশ্ব সুডোকু চ্যাম্পিয়নশিপে (ইংরেজিতে) প্রতিযোগিতা করুন, বা রিয়েল-টাইম মাল্টিপ্লেয়ার খেলুন, মূল তিনটি নিয়ম একই থাকে। প্রতিযোগিতায় বদলে যায় পরিস্থিতি: সময়ের চাপের মধ্যে সমাধান করতে হয়, প্রায়ই একই সময়ে একই ধাঁধা সমাধান করা অন্য খেলোয়াড়দের বিরুদ্ধে।
মাল্টিপ্লেয়ার ধরনে নিয়মের সঙ্গে কৌশলের আরেকটি মাত্রা যোগ হয়। যেমন, Sudoku Royale-এ একাধিক খেলোয়াড় একই সময়ে একই ধাঁধা সমাধান করেন, আর স্কোরে গতি ও নির্ভুলতার মূল্য দেওয়া হয়। নিয়ম একই, তবে প্রতিযোগিতার চাপ অভিজ্ঞতাকে বদলে দেয়। যারা নিয়মগুলো এত ভালোভাবে আত্মস্থ করেছেন যে যুক্তি দিয়ে সংখ্যা বসানো স্বতঃস্ফূর্ত হয়ে যায়, তাঁরা এগিয়ে থাকেন।
| শর্ত | এর মানে | কেন জরুরি |
|---|---|---|
| সারির নিয়ম | প্রতিটি সারিতে ১–৯ পর্যন্ত প্রতিটি সংখ্যা একবার থাকে | অনুভূমিকভাবে সম্ভাবনা বাদ দেয় |
| কলামের নিয়ম | প্রতিটি কলামে ১–৯ পর্যন্ত প্রতিটি সংখ্যা একবার থাকে | উল্লম্বভাবে সম্ভাবনা বাদ দেয় |
| বক্সের নিয়ম | প্রতিটি ৩×৩ বক্সে ১–৯ পর্যন্ত প্রতিটি সংখ্যা একবার থাকে | বক্সের মধ্যে এমন শর্ত তৈরি করে, যা সারি ও কলামের শর্তের সঙ্গে মিলে কাজ করে |
| একটিমাত্র সমাধান | বৈধভাবে ধাঁধা পূরণ করার উপায় একটিই | নিশ্চিত করে যে শুধু যুক্তিই যথেষ্ট, আন্দাজ করতে হয় না |
নিয়ম শেখার পর কী শিখবেন
সুডোকুর সৌন্দর্য হলো, তিনটি সহজ নিয়ম থেকেই অসাধারণ গভীরতা তৈরি হয়। নিয়মগুলো বুঝে গেলেও শেখার পথ সবে শুরু। পরের ধাপ হলো সমাধানের কৌশল শেখা, যেমন হিডেন সিঙ্গেল-এর মতো প্রাথমিক কৌশল, নেকেড পেয়ার-এর মতো মাঝারি পর্যায়ের কৌশল, আর X-Wing-এর মতো উন্নত কৌশল। প্রতিটি কৌশলই একই তিনটি নিয়ম প্রয়োগ করার আরও পরিশীলিত উপায়।
সমাধানের কৌশলগুলো ধারাবাহিকভাবে শিখতে দেখুন সুডোকু খেলার সম্পূর্ণ গাইড। আর এই তিনটি নিয়ম কীভাবে এত সমৃদ্ধ ধাঁধা তৈরি করে, তা গাণিতিক দৃষ্টিতে বুঝতে চাইলে পড়ুন সুডোকুর পেছনের গণিত (ইংরেজিতে) নিয়ে আমাদের লেখা।
সচরাচর জিজ্ঞাসা
সুডোকুর নিয়ম কয়টি?
সুডোকুর ঠিক তিনটি নিয়ম: প্রতিটি সারিতে ১–৯ পর্যন্ত সংখ্যা পুনরাবৃত্তি ছাড়া থাকতে হবে, প্রতিটি কলামেও ১–৯ পর্যন্ত সংখ্যা পুনরাবৃত্তি ছাড়া থাকতে হবে, আর প্রতিটি ৩×৩ বক্সেও ১–৯ পর্যন্ত সংখ্যা পুনরাবৃত্তি ছাড়া থাকতে হবে। সাধারণ সুডোকু ধাঁধা সমাধানের জন্য এই তিনটি শর্তই যথেষ্ট।
সুডোকু খেলতে কি গণিতে ভালো হতে হয়?
না। সুডোকুতে কোনো হিসাব করতে হয় না: যোগ, বিয়োগ, গুণ বা ভাগ কিছুই নয়। ১–৯ সংখ্যাগুলো সংখ্যা হিসেবে নয়, প্রতীক হিসেবে ব্যবহৃত হয়। এগুলোর বদলে অক্ষর বা রং ব্যবহার করলেও ধাঁধাটি একইভাবে কাজ করবে। সুডোকু পুরোপুরি যুক্তির ধাঁধা।
সুডোকুতে আন্দাজ করা কি চলে?
সঠিকভাবে তৈরি সুডোকু ধাঁধা সব সময় আন্দাজ ছাড়াই, শুধু যুক্তি দিয়ে সমাধান করা যায়। যদিও চেষ্টা করে ভুল হলে ফিরে আসা বা ব্যাকট্র্যাকিং কম্পিউটারে সমাধানের বৈধ পদ্ধতি, মানুষের পক্ষে সমাধান করতেও আন্দাজের দরকার হওয়ার কথা নয়। আটকে গেলে সম্ভবত নেকেড পেয়ার, হিডেন সিঙ্গেল বা পয়েন্টিং পেয়ারের মতো কৌশল দিয়ে সংখ্যা বের করার কোনো যুক্তি এখনও আপনার চোখ এড়িয়ে যাচ্ছে।
সুডোকু ধাঁধায় অন্তত কতটি দেওয়া সংখ্যা থাকতে হয়?
একটিমাত্র সমাধান থাকার জন্য সুডোকু ধাঁধায় অন্তত ১৭টি দেওয়া সংখ্যা থাকতে হয়। ২০১২ সালে University College Dublin-এর Gary McGuire ও তাঁর দল গাণিতিকভাবে এটি প্রমাণ করেন। ১৭টি দেওয়া সংখ্যা থাকা প্রায় ৪৯,০০০টি বৈধ সুডোকু ধাঁধার কথা জানা আছে।
সুডোকুতে কর্ণ কি গুরুত্বপূর্ণ?
সাধারণ সুডোকুতে কর্ণের জন্য আলাদা কোনো নিয়ম নেই। শুধু নিশ্চিত করতে হয়, প্রতিটি সারি, কলাম ও ৩×৩ বক্সে ১–৯ পর্যন্ত সংখ্যা আছে। ডায়াগোনাল সুডোকু (X-Sudoku) নামে একটি ধরনে প্রধান দুই কর্ণেও ১–৯ থাকতে হয়, তবে সেটি আলাদা ধরনের ধাঁধা।