数独唯一余数（唯余法）：怎样快速找到

唯一余数的规则

每个格子都属于一行、一列和一宫。宫是棋盘上九个 3x3 方块之一。这三个区域各自都要把 1 到 9 填一次，所以如果某个数字已经出现在一个格子的行、列或宫里，这个格子就不能填它。

一个格子里仍然可能的数字叫做它的候选数。在空棋盘上，一个空格有九个候选数。它的行、列或宫里每填一个数字，就会排除一个候选数。一个格子和另外 20 个格子共享这三个区域：同一行八个，同一列八个，同一宫里再多四个。当这 20 个格子里出现了八个不同的数字，就只剩一个候选数，你可以把它填上。

英文名里的 Naked 是“显露”的意思：答案就明明白白摆在格子里，这个格子只有一个候选数，没有别的。所以中文除了叫唯一余数、唯余法，也有人叫它显性唯一数。隐性唯一数则不同：它所在的格子可能还有好几个候选数，你要看整行、整列或整宫才能找到那个数字。

一句话记住规则

一个格子，被它的行、列、宫排除了八个数字：填上第九个。

真实例题，一步一步看

这是 Sudoku Royale 应用中唯一余数课程所用的棋盘。谜题刚开局，还没有填任何数字。

收集一个格子周围的数字

看 R4C2，也就是第4行第2列的格子。R4C2 在第4宫，即棋盘左侧中间的那一宫。把它三个区域里的数字收集起来：

• 第4行 有 8、7、1 和 6。
• 第2列 有 9 和 5。
• 第4宫 有 8、7、3 和 4。其中的 8 和 7 就是第4行里已经算过的那两个数字。

合起来是 1、3、4、5、6、7、8 和 9。这是八个不同的数字，都不能填进 R4C2。清单里唯一缺的数字是 2。

填上数字

R4C2 只有一个候选数，所以它是唯一余数。把 2 填进 R4C2。注意，没有哪一个区域单独给出了答案：第4行排除了四个数字，第2列又排除了两个，第4宫排除了最后两个。三个区域缺一不可。

接下来怎么走

新填的 2 会把第4行、第2列和第4宫里所有还留有 2 的空格中的候选数 2 排除掉。看同一行的 R4C8：这一步之前，R4C8 可以是 2 或 4。现在 2 没了，只剩 4，于是 R4C8 成了新的唯一余数。在简单谜题里，一个唯一余数常常像这样带出下一个。

怎样快速找到唯一余数

1. 先看最拥挤的格子。 唯一余数需要周围有八个数字。找已经填得比较满的行和列，检查它们交叉处的空格。已经有很多数字的宫也有帮助。
2. 数缺了什么。 数出八个数字太慢。拿三个区域里最满的那个，列出它缺的数字。如果一行缺 2、5 和 7，你只需要拿这三个数字去对照列和宫。其中两个被排除了，剩下的第三个就是你要找的数字。
3. 每填一个数字后再检查。 新的唯一余数会出现在你刚填的数字所在的行、列和宫里。先看那里，再去扫整个棋盘。
4. 先做最简单的。 只剩一个空格的行、列或宫是唯一空格。唯一空格就是只看一个区域就能找到的唯一余数。

在更难的谜题里，你会把候选数以小数字的形式写进格子，这叫做笔记 （英文）。笔记写全之后，只显示一个小数字的格子就是唯一余数。笔记必须随时更新：每填一个数字，就要把它从同一行、同一列、同一宫的所有格子里划掉。

唯一余数和隐性唯一数

两种技巧都是在一个格子里填一个数字，只是出发的问题不同。

• 唯一余数： 选一个格子，问哪些数字可能填在这里。“这个格子只能是 2。”
• 隐性唯一数： 选一个数字和一行、一列或一宫，问哪些格子可以填它。“在这一宫里，2 只能填在这里。”

谜题刚开始时，大多数格子还有很多候选数，所以隐性唯一数通常更常见。棋盘变满之后，唯一余数才多起来。两种技巧都要会，解简单或中等谜题时，你会在两者之间切换很多次。

常见错误

• 忘了看宫。 新手常常只查行和列就停下。在例题里，第4行和第2列还留下三个可能的数字，要靠第4宫才缩到一个。
• 同一个数字数了两次。 行里的 8 和宫里的同一个 8 只算一个被排除的数字。要数不同的数字，不是数填了的格子。
• 相信过时的笔记。 如果你之前忘了划掉某个候选数，只有一个小数字的格子也可能是错的，真正的唯一余数反而可能看不出来。填数前，再把三个区域检查一遍。
• 还剩两个候选数就填。 排除了七个数字还不够。等新填的数字排除其中一个候选数，或者换一种技巧。

什么时候用，接下来学什么

从最简单的谜题到最难的谜题，每次解题都离不开唯一余数。在难题里，可以直接用的唯一余数更少。要先用更高级的技巧排除候选数，直到某个格子只剩一个，之后的解题才又靠唯一余数继续推进。

如果还没学隐性唯一数，接下来就学它。然后是指向对和显性数对。唯一余数、隐性唯一数、指向对和显性数对合起来，能解开许多中等难度的谜题。想看完整的方法，请读数独解题步骤详解 （英文）；其余技巧的学习顺序，请看数独技巧完整列表 （英文）。