Singleton caché : la technique de sudoku la plus utile

La règle du singleton caché

Chaque ligne, chaque colonne et chaque bloc doit contenir une fois chaque chiffre de 1 à 9. Un bloc est l'un des neuf carrés de 3×3 de la grille. Pour tout chiffre qui manque encore dans un bloc, vous pouvez donc demander : quelles cases vides de ce bloc peuvent encore l'accueillir ?

Une case ne peut pas recevoir un chiffre déjà présent dans sa ligne ou dans sa colonne. Barrez ces cases. S'il ne reste qu'une seule case vide dans le bloc, le chiffre y va. La même question vaut pour une ligne ou une colonne.

Les chiffres encore possibles dans une case s'appellent ses candidats. Le singleton est « caché » parce que la case a en général plusieurs candidats : elle ne montre donc pas la réponse à elle seule. Vous ne trouvez le chiffre qu'en regardant toute la ligne, la colonne ou le bloc. Un singleton nu fonctionne à l'inverse : là, une case n'a qu'un seul candidat.

La règle en une phrase

Un chiffre, une ligne, une colonne ou un bloc, une seule case possible : placez le chiffre à cet endroit.

Un exemple réel, pas à pas

C'est la position de départ d'une grille facile. Aucun chiffre n'a encore été placé et il n'y a pas besoin de notes.

Choisissez un bloc et un chiffre

Regardez le bloc 5, celui du centre de la grille. Il contient 4, 2, 9, 1 et 3. Quatre cases sont vides : L4C4, L5C6, L6C5 et L6C6. Il manque au bloc le 5, le 6, le 7 et le 8. Prenez le chiffre 8 et demandez-vous où il peut aller.

Barrez les cases bloquées

• L4C4 est dans la ligne 4. La ligne 4 a déjà un 8 en L4C7, donc L4C4 ne peut pas être un 8.
• L5C6 est dans la ligne 5. La ligne 5 a déjà un 8 en L5C1, donc L5C6 ne peut pas être un 8.
• L6C5 est dans la colonne 5. La colonne 5 a déjà un 8 en L3C5, donc L6C5 ne peut pas être un 8.
• L6C6 est dans la ligne 6 et la colonne 6. Ni l'une ni l'autre n'a de 8. Cette case reste possible.

Trois des quatre cases vides sont bloquées. L6C6 est la seule case du bloc 5 qui peut accueillir le 8.

Placez le chiffre

Placez le 8 en L6C6. Le schéma ci-dessus montre les candidats des quatre cases vides, et ils expliquent le nom de la technique. L6C6 a trois candidats : 6, 7 et 8. En ne regardant que cette case, impossible de trancher. Le 8 est caché parmi les autres candidats, et vous ne le trouvez qu'en regardant tout le bloc.

Comment balayer la grille à la recherche de singletons cachés

Une méthode rapide s'appelle le balayage croisé (cross-hatching). Il trouve les singletons cachés dans les blocs, sans aucune note.

1. Choisissez un chiffre. Repérez tous les endroits où il figure déjà dans la grille.
2. Suivez ses lignes et ses colonnes. Chacun de ces chiffres bloque toute sa ligne et toute sa colonne. Imaginez un trait le long de cette ligne et un trait le long de cette colonne.
3. Vérifiez chaque bloc qui n'a pas encore le chiffre. Si les traits ne laissent qu'une seule case vide dans un bloc, vous avez trouvé un singleton caché.
4. Recommencez avec le chiffre suivant. Passez les neuf chiffres en revue, puis repartez du début, car chaque nouveau chiffre bloque d'autres cases.

Vous pouvez aussi partir du bloc. Choisissez un bloc qui a peu de cases vides, listez les chiffres qui lui manquent et testez chacun comme dans l'exemple. Deux autres habitudes font gagner du temps. Commencez par les chiffres qui apparaissent déjà souvent, car il reste peu de cases pour eux. Et après chaque placement, regardez d'abord la ligne, la colonne et le bloc du nouveau chiffre : de nouveaux singletons cachés y apparaissent.

Singletons cachés dans les lignes et les colonnes

Un singleton caché dans une ligne suit la même règle. Prenez un chiffre qui manque à la ligne et examinez chaque case vide de la ligne. Une case est bloquée quand le chiffre est déjà dans sa colonne ou dans son bloc. S'il ne reste qu'une case, placez le chiffre. Pour une colonne, examinez les lignes et les blocs de ses cases vides.

Les singletons cachés d'une ligne ou d'une colonne sont plus difficiles à voir que ceux d'un bloc. Une ligne traverse trois blocs et neuf colonnes : votre regard doit parcourir toute la grille. Cherchez d'abord dans les blocs, puis dans les lignes et les colonnes quand les blocs ne donnent plus rien. Sur les grilles plus difficiles, les notes (en anglais) facilitent la tâche : un singleton caché est un candidat qui n'apparaît qu'une seule fois dans une ligne, une colonne ou un bloc.

Erreurs fréquentes

• Rater un chiffre bloquant, ou en voir un qui n'existe pas. Si vous ne voyez pas le 8 en L3C5 dans l'exemple, deux cases semblent possibles et vous ne trouvez rien. Si vous croyez qu'un trait bloque une case alors que ce n'est pas le cas, vous placez un mauvais chiffre. Vérifiez une à une les cases vides du bloc.
• S'arrêter à deux cases. Quand un chiffre a deux cases possibles dans un bloc, ce n'est pas un singleton caché. Ne devinez pas. Passez au chiffre suivant.
• Ne regarder que les cases à peu de candidats. Un singleton caché peut se trouver dans une case à cinq candidats. Le nombre de candidats de la case n'a pas d'importance.
• Ne chercher que dans les blocs. Certains singletons cachés n'existent que dans une ligne ou que dans une colonne.

Quand l'utiliser, et quoi apprendre ensuite

Cherchez des singletons cachés dès le premier coup de chaque grille. Les grilles faciles peuvent se résoudre entièrement avec des singletons cachés, des singletons nus et la dernière case, c'est-à-dire une ligne, une colonne ou un bloc avec une seule case vide. Les grilles plus difficiles ne se résolvent pas avec les seuls singletons, mais ceux-ci placent quand même la plupart des chiffres. Des techniques comme les paires pointantes, les paires nues et le X-Wing ne font que retirer des candidats, et chaque retrait peut créer un nouveau singleton caché. Cherchez-en de nouveau après chaque retrait.

Si vous débutez au sudoku, les conseils pour débutants (en anglais) montrent comment les singletons s'insèrent dans une résolution complète. Le guide des niveaux de difficulté (en anglais) explique quelles techniques chaque niveau demande, et la liste complète des techniques de sudoku (en anglais) donne l'ordre dans lequel les apprendre.