数独简单着色（染色法）：共轭对与着色链详解

共轭对与两条规则

当一个数字在某一行、某一列或某一宫里恰好只有两个可填的格子，这两个格子就叫做共轭对。这个数字必须填在其中一个里。它不在第一个格子，就在第二个格子。所以这两个格子永远是对立的：一个填这个数字，另一个不填。

共轭对共用一个格子时，就连成了链。给第一个格子涂一种颜色，它的搭档涂另一种颜色。然后从每个已涂色的格子出发，沿着其他共轭对继续，新格子涂相反的颜色。到最后，要么第一种颜色的所有格子都是这个数字，要么第二种颜色的所有格子都是。不可能混在一起。

两个格子在同一行、同一列或同一宫里，就说它们互相看到对方。简单着色有两条规则：

• 颜色陷阱（Color Trap）： 链外的一个格子，同时看到两种颜色的格子各一个。这两个有颜色的格子里必有一个是这个数字，所以链外的这个格子不能是它。从这个格子里排除这个数字。
• 颜色矛盾（Color Wrap）： 同一种颜色的两个格子互相看到。这种颜色会让这个数字在同一行、同一列或同一宫里出现两次，所以这种颜色是假的。从这种颜色的所有格子里排除这个数字，并把它填进另一种颜色的所有格子。

一句话记住规则

同时看到两种颜色的格子要排除这个数字。同一种颜色的两个格子互相看到，这种颜色就是假的。

真实例题，一步一步看

在这个局面里，简单的步骤都已用完，没有可以直接填的唯一数。每个空格显示的是此刻剩下的候选数。更简单的技巧排除的候选数已经去掉。

建立着色链

只看数字 4。从 R2C1 开始，把它涂成蓝色。然后沿着共轭对继续：

1. 第2行： 4 只能填在 R2C1 和 R2C9。R2C1 是蓝色，所以 R2C9 是黄色。
2. 第1列： 4 只能填在 R2C1 和 R9C1。R2C1 是蓝色，所以 R9C1 是黄色。
3. 第1宫： 4 只能填在 R2C1 和 R1C3。R2C1 是蓝色，所以 R1C3 是黄色。
4. 第3列： 4 只能填在 R1C3 和 R8C3。R1C3 是黄色，所以 R8C3 是蓝色。
5. 第9行： 4 只能填在 R9C1 和 R9C7。R9C1 是黄色，所以 R9C7 是蓝色。

第7宫还有一个共轭对：R8C3 和 R9C1。R8C3 已经是蓝色，R9C1 已经是黄色，所以这一对和颜色吻合。其他的行、列、宫里，4 都不是恰好只有两个可填的格子，所以链到这里结束，有三个蓝色格子和三个黄色格子。

应用颜色陷阱

要么所有蓝色格子都是 4，要么所有黄色格子都是 4。现在检查链外仍有候选数 4 的格子。

• R1C7 在第1行，和黄色的 R1C3 同行；在第7列，和蓝色的 R9C7 同列。如果黄色是真的，第1行已经有 4 了。如果蓝色是真的，第7列已经有 4 了。从 R1C7 排除 4。
• R8C9 在第8行，和蓝色的 R8C3 同行；在第9列，和黄色的 R2C9 同列。同样的理由，从 R8C9 排除 4。

链外还有两个格子有候选数 4。R1C9 只看到黄色格子，R8C7 只看到蓝色格子，所以它们都保留 4。这条链里没有同色的两个格子互相看到，所以颜色矛盾的规则在这里用不上。

接下来怎么走

R1C7 原来有两个候选数，4 和 5。颜色陷阱排除了 4，只剩 5，这就是唯一余数：把 5 填进 R1C7。R8C9 原来的候选数也是 4 和 5，现在也只剩候选数 5。

怎样寻找着色链

你需要写全笔记 （英文），因为少一个候选数，就会改变哪些格子是共轭对。然后按下面的顺序找：

1. 选一个共轭对多的数字。 一个数字在好几行、好几列和好几宫里都只有两个可填的格子，是不错的选择。
2. 给链着色。 从任意一个共轭对开始，每个新格子涂相反的颜色，直到没有共轭对能让链继续延伸。
3. 先查颜色矛盾。 看看有没有同一种颜色的两个格子在同一行、同一列或同一宫里。这种情况不常出现，一旦出现，就可以把这个数字填进另一种颜色的所有格子。
4. 再查颜色陷阱。 对链外每个还有这个候选数的格子，检查它是否同时看到两种颜色。
5. 回到简单的步骤。 重新找唯一余数和隐性唯一数。

链越长，排除候选数的机会越多。只有两个格子的链就是一个共轭对。这样的链排除的候选数，指向对或行列区块同样能排除。每多一环，就多出一些可能同时看到两种颜色的格子。

常见错误

• 一环里有三个格子。 只有这个数字在该行、该列或该宫里恰好有两个可填的格子，这一环才有效。有三个格子的话，链就不能从这里继续。
• 把两条链混在一起。 同一个数字可以有两条互不相干的链。一条链的颜色对另一条链说明不了什么，所以格子必须看到同一条链的两种颜色。
• 从有颜色的格子里排除这个数字。 颜色陷阱只从链外的格子里排除这个数字。用颜色陷阱时，有颜色的格子保留它们的候选数。
• 给不止一个数字着色。 简单着色一次只追踪一个数字。格子里的其他候选数不用管。

什么时候用简单着色，接下来学什么

当你在难题里卡住，唯一数、数对和X翼都没有进展时，就用简单着色。X翼和剑鱼也是追踪同一个数字，所以对同一个数字把这三种都检查一遍，效率最高。

简单着色一次只处理一个数字。XY翼则在不同的数字之间连接三个格子。X链 （英文）沿用同样的单数字思路，但用的环更灵活；三维美杜莎 （英文）（3D Medusa）把着色从一个数字扩展到多个数字。