Coloriage simple au sudoku : paires conjuguées et chaînes

Paires conjuguées et les deux règles

Quand un chiffre a exactement deux cases possibles dans une ligne, une colonne ou un bloc, ces deux cases s'appellent une paire conjuguée. Le chiffre est forcément dans l'une d'elles. S'il n'est pas dans la première case, il est dans la seconde. Les deux cases sont donc toujours opposées : l'une contient le chiffre et l'autre non.

Une chaîne se forme quand des paires conjuguées partagent une case. Donnez une couleur à la première case et l'autre couleur à sa partenaire. Suivez ensuite toutes les autres paires conjuguées à partir de chaque case colorée et donnez à la nouvelle case la couleur opposée. À la fin, soit toutes les cases de la première couleur contiennent le chiffre, soit toutes celles de la seconde. Un mélange est impossible.

Deux cases se voient quand elles sont dans la même ligne, la même colonne ou le même bloc. Le coloriage simple a deux règles :

• Piège de couleur (color trap) : une case hors de la chaîne voit une case de chaque couleur. L'une de ces deux cases colorées contient le chiffre, donc la case hors de la chaîne ne peut pas le contenir. Retirez le chiffre de cette case.
• Enroulement de couleur (color wrap) : deux cases de la même couleur se voient. Cette couleur placerait le chiffre deux fois dans une ligne, une colonne ou un bloc : c'est donc la mauvaise. Retirez le chiffre de toutes les cases de cette couleur et placez-le dans toutes les cases de l'autre.

Les règles en une phrase

Une case qui voit les deux couleurs perd le chiffre. Si deux cases d'une couleur se voient, cette couleur est la mauvaise.

Un exemple réel, pas à pas

Dans cette position, les coups faciles sont épuisés et il ne reste aucun singleton à placer. Chaque case vide affiche les candidats qui restent à ce stade. Les candidats que retirent les techniques plus simples ont déjà disparu.

Construisez la chaîne

Regardez uniquement le chiffre 4. Commencez par L2C1 et colorez-la en bleu. Suivez ensuite les paires conjuguées :

1. Ligne 2 : un 4 n'est possible qu'en L2C1 et L2C9. L2C1 est bleue, donc L2C9 est jaune.
2. Colonne 1 : un 4 n'est possible qu'en L2C1 et L9C1. L2C1 est bleue, donc L9C1 est jaune.
3. Bloc 1 : un 4 n'est possible qu'en L2C1 et L1C3. L2C1 est bleue, donc L1C3 est jaune.
4. Colonne 3 : un 4 n'est possible qu'en L1C3 et L8C3. L1C3 est jaune, donc L8C3 est bleue.
5. Ligne 9 : un 4 n'est possible qu'en L9C1 et L9C7. L9C1 est jaune, donc L9C7 est bleue.

Le bloc 7 a une paire conjuguée de plus : L8C3 et L9C1. L8C3 est déjà bleue et L9C1 déjà jaune : cette paire est donc cohérente avec les couleurs. Aucune autre ligne, aucune autre colonne et aucun autre bloc n'a exactement deux cases pour le 4 : la chaîne s'arrête donc ici avec trois cases bleues et trois cases jaunes.

Appliquez le piège de couleur

Soit toutes les cases bleues sont des 4, soit toutes les cases jaunes le sont. Examinez maintenant les cases hors de la chaîne qui ont encore un candidat 4.

• L1C7 est dans la ligne 1 avec L1C3, qui est jaune, et dans la colonne 7 avec L9C7, qui est bleue. Si le jaune est la bonne couleur, la ligne 1 a déjà son 4. Si c'est le bleu, la colonne 7 a déjà son 4. Retirez le 4 de L1C7.
• L8C9 est dans la ligne 8 avec L8C3, qui est bleue, et dans la colonne 9 avec L2C9, qui est jaune. Retirez le 4 de L8C9 pour la même raison.

Deux autres cases hors de la chaîne ont un candidat 4. L1C9 ne voit que des cases jaunes et L8C7 ne voit que des cases bleues : elles gardent donc toutes deux le 4. Dans cette chaîne, aucune paire de cases de la même couleur ne se voit, la règle de l'enroulement ne s'applique donc pas ici.

Exploitez le résultat

L1C7 avait deux candidats, 4 et 5. Le piège de couleur a retiré le 4, il ne reste donc que le 5. C'est un singleton nu : placez le 5 en L1C7. L8C9 avait aussi pour candidats 4 et 5, elle n'a donc plus que le candidat 5.

Comment chercher une chaîne de coloriage

Il vous faut des notes (en anglais) complètes, car un seul candidat manquant change les paires qui sont conjuguées. Cherchez ensuite dans cet ordre :

1. Choisissez un chiffre avec beaucoup de paires conjuguées. Un chiffre qui n'a que deux cases possibles dans plusieurs lignes, colonnes et blocs est un bon choix.
2. Colorez la chaîne. Partez d'une paire conjuguée quelconque et donnez à chaque nouvelle case la couleur opposée, jusqu'à ce qu'aucune paire conjuguée ne prolonge la chaîne.
3. Vérifiez d'abord l'enroulement de couleur. Cherchez deux cases de la même couleur dans une même ligne, une même colonne ou un même bloc. Cela n'arrive pas souvent, mais quand c'est le cas, vous pouvez placer le chiffre dans toutes les cases de l'autre couleur.
4. Vérifiez le piège de couleur. Pour chaque case hors de la chaîne qui a le chiffre pour candidat, regardez si elle voit les deux couleurs.
5. Revenez aux coups faciles. Cherchez de nouveau des singletons nus et des singletons cachés.

Une chaîne plus longue offre plus de chances d'élimination. Une chaîne de deux cases n'est qu'une paire conjuguée. Elle ne retire rien que les paires pointantes ou la réduction bloc-ligne ne retireraient aussi. Chaque nouveau maillon ajoute des cases qui peuvent voir les deux couleurs.

Erreurs fréquentes

• Un maillon à trois cases. Un maillon n'est valable que si le chiffre a exactement deux cases possibles dans cette ligne, cette colonne ou ce bloc. Avec trois cases, vous ne pouvez pas poursuivre la chaîne à cet endroit.
• Mélanger deux chaînes. Un même chiffre peut avoir deux chaînes séparées. Les couleurs d'une chaîne ne disent rien de l'autre : une case doit donc voir les deux couleurs de la même chaîne.
• Retirer le chiffre des cases colorées. Le piège de couleur ne retire le chiffre que des cases hors de la chaîne. Avec le piège de couleur, les cases colorées gardent leur candidat.
• Colorer plusieurs chiffres. Le coloriage simple ne suit qu'un seul chiffre. Les autres candidats d'une case n'ont pas d'importance.

Quand utiliser le coloriage simple, et la suite

Utilisez le coloriage simple quand vous êtes bloqué dans une grille difficile et que les singletons, les paires et le X-Wing ne donnent plus rien. Le X-Wing et l'espadon suivent eux aussi un seul chiffre : autant vérifier les trois d'un coup pour le même chiffre.

Le coloriage simple travaille sur un chiffre à la fois. Le XY-Wing relie trois cases par des chiffres différents. La chaîne X (en anglais) reprend la même idée à un seul chiffre avec un type de maillon plus souple, et la 3D Medusa (en anglais) étend le coloriage d'un chiffre à plusieurs chiffres.